Лекции по истории

Аргументы Зенона вскрыли внутренние противоречия, которые имели место в сложившихся математических теориях. Тем самым факт существо вания математики был поставлен под сомнение. Какими же путями разре шались противоречия, выявленные Зеноном ? Простейшим выходом из создавшегося положения бал отказ от абс тракций в пользу того, что можно непосредственно проверить с помощью ощущений. Такую позицию занял софист Протагор. Он считал, что "мы не можем представить себе ничего прямого или круглого в том смысле, как представляет эти термины геометрия; в самом деле, круг касается пря мой не в одной точке". Таким образом, из математики следует убрать как ирреальные: представления о бесконечном числе вещей, так как никто не может считать до бесконечности;бесконечную делимость, пос кольку она неосуществима практически и т.д. Таким путем математику можно сделать неуязвимой для рассуждений Зенона, но при этом практи чески упраздняется теоретическая математика. Значительно сложнее бы ло построить систему фундаментальных положений математики, в которой бы выявленные Зеноном противоречия не имели бы места. Эту задачу ре шил Демокрит, разработав концепцию математического атомизма. Демокрит бал, по мнению Маркса, "первым энциклопедическим умом среди греков". Диоген Лаерций (III в. н.э.) называет 7О его сочине ний, в которых были освещены вопросы философии, логики, математики, космологии, физики, биологии, общественной жизни, психологии, этики, педагогики, филологии, искусства, техники и другие. Аристотель писал о нем: "Вообще, кроме поверхностных изысканий, никто ничего не уста новил, исключая Демокрита. Что же касается его, то получается такое впечатление, что он предусмотрел все, да и в методе вычислений он выгодно отличается от других". Вводной частью научной системы Демокрита была "каноника", в ко торой формулировались и обосновывались принципы атомистической фило софии. Затем следовала физика, как наука о различных проявлениях бы тия, и этика. Каноника входила в физику в качестве исходного разде ла, этика же строилась как порождение физики. В философии Демокрита прежде всего устанавливается различие между "подлинно сущим" и тем, что существует только в "общем мнении". Подлинно сущими считались лишь атомы и пустота. Как подлинно сущее, пустота (небытие) есть та кая же реальность, как атомы (бытие). "Великая пустота" безгранична и заключает в себе все существующее, в ней нет ни верха, ни низа, ни края, ни центра, она делает прерывной материю и возможным ее движе ние. Бытие образуют бесчисленные мельчайшие качественно однородные первотельца, различающиеся между собой по внешним формам, размеру, положению и порядку, они далее неделимы вследствие абсолютной твер дости и отсутствия в них пустоты и "по величине неделимы". Атомам самим по себе свойственно непрестанное движение, разнообразие кото рого определяется бесконечным разнообразием форм атомов. Движение атомов вечно и в конечном итоге является причиной всех изменений в мире. Задача научного познания, согласно Демокриту, чтобы наблюдаемые явления свести к области "истинного сущего" и дать им объяснение ис ходя из общих принципов атомистики. Это может быть достигнуто пос редством совместной деятельности ощущений и разума. Гносеологическую позицию Демокрита Маркс сформулировал следующим образом: "Демокрит не только не удалялся от мира, а, наоборот, был эмпирическим естест воиспытателем". Содержание исходных философских принципов и гносео логические установки определили основные черты научного метода Демокрита:

а) В познании исходить от единичного;
б) Любые предмет и явление разложимы до простейших элементов (анализ) и объяснимы исходя из них (синтез);
в) Различать существование "по истине" и "согласно мнению";
г) Явления действительности - это отдельные фрагменты упорядо ченного космоса, который возник и функционирует в результате дей твий чисто механической причинности.

Математика по праву должна считаться у Демокрита первым разде лом собственно физики и следовать непосредственно за каноникой. В самом деле, атомы качественно однородны и их первичные свойства име ют количественный характер. Однако было бы неправильно трактовать учение Демокрита как разновидность пифагореизма, поскольку Демокрит хотя и сохраняет идею господства в мире математической закономернос ти, но выступает с критикой априорных математических построений пи фагорейцев, считая, что число должно выступать не законодателем при роды, а извлекаться из нее. Математическая закономерность выявляется Демокритом из явлений действительности, и в этом смысле он предвос хищает идеи математического естествознания. Исходные начала матери ального бытия выступают у Демокрита в значительной степени как мате матические объекты, и в соответствии с этим математике отводится видное место в системе мировоззрения как науке о первичных свойствах вещей. Однако включение математики в основание мировоззренческой системы потребовало ее перестройки, приведения математики в соот ветствие с исходными философскими положениями, с логикой, гносеоло гией, методологией научного исследования. Созданная таким образом концепция математики, называемая концепцией математического атомиз ма, оказалась существенно отличной от предыдущих. У Демокрита все математические объекты (тела, плоскости, линии, точки) выступают в определенных материальных образах. Идеальные плоскости, линии, точки в его учении отсутствуют. Основной процеду рой математического атомизма является разложение геометрических тел на тончайшие листики (плоскости), плоскостей - на тончайшие нитки (линии), линий - на мельчайшие зернышки (атомы). Каждый атом имеет малую, но ненулевую величину и далее неделим. Теперь длина линии оп ределяется как сумма содержащихся в ней неделимых частиц. Аналогично решается вопрос о взаимосвязи линий на плоскости и плоскостей в те ле. Число атомов в конечном объеме пространства не бесконечно, хотя и настолько велико, что недоступно чувствам. Итак, главным отличием учения Демокрита от рассмотренных ранее является отрицание им беско нечной делимости. Таким образом он решает проблему правомерности те оретических построений математики, не сводя их к чувственно воспри нимаемым образам, как это делал Протагор. Так, на рассуждения Прота гора о касании окружности и прямой Демокрит мог бы ответить, что чувства, являющиеся отправным критерием Протагора, показывают ему, что чем точнее чертеж, тем меньше участок касания; в действительнос ти же этот участок настолько мал, что не поддается чувственному ана лизу, а относится к области истинного познания. Руководствуясь положениями математического атомизма, Демокрит проводит ряд конкретных математических исследований и достигает вы дающихся результатов (например, теория математической перспективы и проекции). Кроме того, он сыграл, по свидетельству Архимеда, немало важную роль в доказательстве Эвдоксом теорем об объеме конуса и пи рамиды. Нельзя с уверенностью сказать, пользовался ли он при решении этой задачи методами анализа бесконечно малых. А.О.Маковельский пи шет: "Демокрит вступил на путь, по которому дальше пошли Архимед и Кавальери. Однако, подойдя вплотную к понятию бесконечно малого, Де мокрит не сделал последнего решительного шага. Он не допускает безг раничного увеличения числа слагаемых, образующих в своей сумме дан ный объем. Он принимает лишь чрезвычайно большое, не поддающееся ис числению вследствие своей огромности число этих слагаемых". Выдающимся достижением Демокрита в математике явилась также его идея о построении теоретической математики как системы. В зародыше вой форме она представляет собой идею аксиоматического построения математики, которая затем была развита в методологическом плане Пла тоном и получила логически развернутое положение у Аристотеля.