Лекции по Дискретной математике

Графом (G) будем называть тройку объектов (V, X, )

V – множество n вершин.
X – конечное множество ребер.
- функция инцидентности, которая каждому элементу множества X ставит в соответствие пару элементов из множества V.

задана на множестве X.

Если в значении функции инцидентности допускается перестановка вершин, то граф называется неориентированным. В противном случае граф называется ориентированным (Орграф).
Vj – начало ребра
Vk – его конец

xi) = (Vj, Vk) – ребро инцидентно в вершине Vj и в вершине Vk.

Если одной и той же паре вершин инцидентно несколько ребер, то ребра называются кратными.
Если на ребре xi0
(x0) = (Vj0, Vj0),
то ребро называется петлей.

Способы задания графов
1. Аналитический
Если вершине не инцидентно никакое ребро, то эта вершина называется изолированной.
Выписываются все ребра и пишутся напротив две пары вершин, которым они инцидентны.
В конце выписываются все изолированные вершины.
2. Геометрический
Каждая вершина графа задается точкой. А ребра, инцидентные паре вершин – кривой.
Желательно рисовать кривые без пересечения. Если пересечения существуют, то их надо отличать от вершин.

3. С помощью матрицы инцидентности
A(m*n)
m = [V] – число вершин
n = [X}- число ребер

а) Неориентированные графы
Aij = {0, если Vi не инцидентно xj, 1, если Vi инцидентно xj)

б) Орграфы
Aij = {0, если Vi не инцидентно xj, -1, если Vi - начало xj, 1, если Vi - конец xj)

Для петель нужны дополнительные предположения.

4. Матрица смежности (задается одинаково для всех графов)

B(m*m) m = [V]

Bij равно числу ребер, инцидентных паре вершин (oi, oj)
Если граф не ориентирован, то матрица симметрична.

Граф, в котором нет кратных ребер и петель, называется простым.
Простой граф называется полным, если любой паре его вершин инцидентно одно ребро.
Дальше все о неориентированных графах.

K5 – полный пятивершинник

Полный двудольный граф.

Граф называется двудольным, если множество вершин разбивается на 2 непересекающихся подмножества, такие, что ребра соединяют вершины из разных подмножеств.
Двудольный граф называется полным, если каждая вершина одного подмножества соединена ребром с каждой вершиной другого подмножества.
Полный двудольный граф.

Маршруты, циклы, связности.

Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин и ребер, начинающаяся и заканчивающаяся вершинами, такую, что каждое ребро в нем соединяет только те вершины, между которыми оно стоит.
Будем говорить, что этот маршрут соединяет первую и последнюю вершину. Если существует маршрут, то последняя вершина называется достижимой из первой вершины.
Маршрут, в котором нет повторяющихся ребер, называется цепью.
Маршрут, в котором нет повторяющихся вершин (кроме первой и последней), называется простой цепью.
Если в простой цепи первая и последняя вершины совпадают, то она называется циклом.
Граф называется связным, если любая вершина достижима из любой другой вершины. В противном случае граф называется несвязным. Несвязный граф распадается на несколько частей, каждая из которых является связным графом.
Эти части называются компонентами связности.
Ребро называется циклическим, если оно входит хотя бы в один цикл графа. В противном случае ребро называется ациклическим.

Утверждение.
Если из связного графа удалить циклическое ребро, то вновь полученный граф останется связным, а если удалить ациклическое ребро, то граф распадется на два компонента связности.
Связный граф, у которого все ребра ациклические, называется деревом.
Несвязный граф, компонентами связности которого являются деревья, лесом.
Свойства деревьев.
1. Чтобы простой связный граф был деревом, необходимо и достаточно, чтобы число вершин было больше числа ребер на один.
2. Чтобы граф был деревом, необходимо и достаточно, чтобы любые две вершины его соединялись единственным маршрутом.
3. Граф будет деревом тогда и только тогда, когда добавление любого нового ребра приводит к появлению ровно одного цикла.