Лекции по Дискретной математике - Лекция 6. Метод Квайна – Мак-Клоски для нахождения минимальной ДНФ

Этот метод удобен для нахождения минимальной ДНФ функции от любого числа переменных.
Определение. Элементарная конъюнкция K1 покрывает ЭК K2, если каждая переменная, входящая в K1, входит и в K2.
__ __ __
X1X3 – покрытие X1X2X3X4
Nk1  Nk2
K2 = K1K

K – конъюнкция из других переменных.
__ _ _ __ _ _
X1X3 V X1X2X3X4 = X1X3 (1 V X2X4) = X1X3 – поглощение

Склеивание двух ЭК
_
Kx V Kx = K

Идея метода Квайна (алгоритм)

1. Выписываются все элементарные конъюнкции из СДНФ функции.
2. Проводятся все возможные склеивания между этими ЭК. Полученные новые ЭК сохраняются вместе со старыми.
3. Между ними снова проводим все возможные склеивания до тех пор, пока это возможно. В результате среди ЭК появятся все простые импликанты функции.
4. Проводим поглощение между всеми получившимися ЭК, то есть оставляем только те ЭК, которые не покрываются никакими другими.
5. В результате получаются только простые импликанты. Их дизъюнкция является сокращенной ДНФ. Дальше все идет в соответствии с тривиальным алгоритмом минимизации.

Формализация Мак-Клоски.

Каждой ЭК ставим в соответствие булев вектор. (x с отрицанием – 0, без отрицания – 1).

1. Выписываем все ЭК из СДНФ функции в формализованном виде в столбец, располагая их в порядке возрастания числа единиц в векторах и разбивая на классы по числу единиц.
2. Между ЭК проводим все возможные склеивания. Результат записываем в новый столбец справа, а ЭК, участвовавшие в склеивании, помечаем звездочкой. Склеивать можно только ЭК из соседних классов.
3. Для полученного столбца еще раз применяем шаг 2.
4. Все ЭК, которые остались непомеченными звездочкой, являются простыми импликантами.
5. Строим таблицу Квайна по следующему правилу:
А) Каждой строке ставим в соответствие простую импликанту Пi.
Б) Каждому столбцу – ЭК из СДНФ Kj.
6. Если Пi.покрывает Kj , то в соответствующей клетке ставим знак +.
7. Ищем ядровые импликанты (столбец, содержащий только 1 знак +). Та строка и есть ядровая (строка, в какой этот крестик содержится).
8. Строим сокращенную таблицу (Вычеркиваем ядровые строки, а затем – столбцы, где есть вычеркнутые крестики).
9. Ядро дополняем до тупиковой ДНФ (Ищем минимальную комбинацию строк так, чтобы в каждый столбец входил хотя бы один крестик). Дизъюнкция этих строк даст тупиковые ДНФ.
10. Среди всех тупиковых ДНФ выбираем минимальную.